적률생성함수

적률생성함수

$X$를 어떤 $h>0$에 대해 $-h<t<h$일 때 $e^{tX}$의 기댓값이 존재하는 확률변수라고 하자.

$-h<t<h$에 대해 함수 $M(t)=E(e^{tX})$를 $X$의 적률생성함수(mgf; moment generating function)이라 한다.

 

정리: 적률함수가 같으면 같은 확률분포

$X$와 $Y$를 0에 대한 개구간에 존재하는 적률생성함수 $M_X$와 $M_Y$를 갖는 확률변수라고 하자.

임의의 $h>0$에 대해 $t \in (-h,h)$일 때 $M_X(t) = M_Y(t)$인 경우에 한 해 모든 $z \in R$에 대해 $F_X(z)=F_Y(z)$이다.

 

m차 적률

일반적으로 $m$이 양수이고 $M^{(m)}(t)$가 $M(t)$의 $m$차 도함수이면 $t$에 대해 반복하여 미분함으로써 $M^{(m)}(0)=E(X^m)$이 된다. 이제 $E(X^m)=\int_{-\infty}^{\infty} x^mf(x) dx$ 또는 $\sum_{x} x^mf(x)$이며, 이와 같은 종류의 적분(또는 총합)은 역학에서 적률(moment)라 한다. $M(t)$는 $E(X^m) (m=1,2,3,\cdots)$의 값을 생성하기 때문에 적률생성함수라고 한다. 간혹 $E(X^m)$을 분포의 $m$차 적률 또는 $X$의 $m$차 적률이라 한다.