연속형 분포

감마분포(Gamma distribution; $\Gamma(\alpha, \beta)$)

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} & \mbox{0<x<\infty} \\ 0 & \mbox{o.w.} \end{cases} ,  \alpha>0, \beta>0$

$\mu = \ \alpha\beta$

$\sigma^2 = \alpha\beta^2$

$M(t) = (1-\beta t)^{-\alpha} , t<\frac{1}{\beta}$

 

카이제곱분포(chi-square distribution; $\chi ^2(r)$)

감마분포에서 $\alpha=r/2, \beta=2$인 경우,

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}x^{r/2-1}e^{-x/2} & \mbox{0<x<\infty} \\ 0 & \mbox{o.w.} \end{cases}$

$\mu = r$

$\sigma^2 = 2r$

$M(t) = (1-2t)^{-r/2}, t<\frac{1}{2}$

 

베타분포(Beta distribution; $Beta(\alpha, \beta)$)

$f(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} & \mbox{0<x<1} \\ 0 & \mbox{o.w.} \end{cases}$

$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

$\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}$

$M(t)$

 

디리클레분포(Dirichlet distribution)

$f(x_1, x_2, \cdots, x_{k+1}) = $$\begin{cases} \prod_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\Gamma(\alpha_i)} x_i^{\alpha_i-1}e^{-x_i} & \mbox{0<x_i<\infty} \\ 0 & \mbox{o.w.} \end{cases}$$ $

 

 

정규분포 (Normal distribution)

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp[-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2], -\infty < x < \infty$

$M(t) = exp [\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2$

 

 

다변량 정규분포

$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} exp [-\frac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu), x \in \mathbb{R}^n$

$M(t) = exp[t'\mu + (1/2)t'\Sigma t]$

 

 

t-분포

확률변수 $W$와 $V$가 각각 $N(0,1)$와 $\chi^2(r)$를 따르고 서로 독립일 때, $T$는 t-분포를 따른다.

$T = \frac{W}{\sqrt{V/R}}$

 

F-분포

확률변수 $U$와 $V$가 자유도가 각각 $r_1$과 $r_2$이고 서로 독립인 $\chi^2$ 분포를 따르면, $W$는 F-분포를 따른다.

$W = \frac{U/r_1}{V/r_2}$